This site does not initially load with the download links. What can be done is to emulate a browser and wait for the page to be fully loaded. After that, we take the link and proceed with download/installation.
See how it looked in my example below:
#Cria o objeto do Internet Explorer para simular a navegação para está página
$ie = New-Object -ComObject "InternetExplorer.Application"
#Navega até a página solicitada
$ie.Navigate2("https://www.java.com/en/download/manual.jsp")
$anchor = $null
while($anchor -eq $null -or $anchor -eq "")
{
#aguarda 1 segundo para que seja feito o carregamento da página
start-sleep -m 1000
#obtém o html do página
$html = $ie.document.body.innerHTML
#aplica seu regex para identificar a anchar com o link para download
$anchor = [regex]::Match($html, '(?:<a title="Download Java software for Windows Online" href=")(.*)(?:">)').Groups[1].Value
}
#a regex não retorna o link corretamente, por isso fiz o substring para pegar o link
$url_download = $anchor.Substring(0,$anchor.IndexOf(""""))
#Faz download utilizando o link que obtivemos
Invoke-WebRequest -UseBasicParsing -OutFile java.exe $url_download
#Inicia a instalaçãoa
Start-Process .\java.exe '/s REBOOT=0 SPONSORS=0 AUTO_UPDATE=0' -wait